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   "source": [
    "### **例1** 求函数$f(x)=C（C$为常数）的导数\n",
    "解 $f^\\prime(x)=\\lim_{x\\to\\ 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{C-C}{h}=0，$  \n",
    "即$$(C)'=0.$$\n",
    "这就是说，常数的导数等于零.\n",
    "### **例2** 求函数$f(x)=x^n(n\\in N_+)$的导数.\n",
    "解 $当n=1时,f^\\prime(x)=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{(x+h)-x}{h}=1，$  \n",
    "当n>1时，$$f^\\prime(x)=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{(x+h)^n-x^n}{h}=\\lim_{h\\to\\ 0}\\left[nx^{n-1}+\\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h+\\cdots+h^{n-1}\\right]=nx^{n-1}.$$\n",
    "即$$(x^n)'=\\begin{cases}\n",
    "1,&\\text{n=1},\\\\\n",
    "nx^{n-1},&\\text{n>1}.\n",
    "\\end{cases}$$\n",
    "### **例3** $求幂函数f(x)=x^\\mu.（\\mu\\in R）的导数．$\n",
    "解 $幂函数的定义域与常数\\mu有关，以下设x在幂函数x^\\mu的定义域内且x\\ne 0,则$\n",
    "$$\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\frac{(x+h)^\\mu-x^\\mu}{h}=\\frac{\\left(1+\\frac{h}{x}\\right)^\\mu -1}{\\frac{h}{x}}.$$\n",
    "利用第一章第九节*例7*的结果，便得$$f^\\prime(x)=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\mu x^{\\mu -1},$$\n",
    "即$$(x^\\mu)'=\\mu x^{\\mu -1}.$$\n",
    "这就是幂函数的导数公式$^{\\textcircled{1}}.$  \n",
    "利用这公式，可以很方便地求出幕函数的导数，例如：$$当\\mu=\\frac{1}{2}时,y=x^{\\frac{1}{2}}=\\sqrt x\\quad(x>0)的导数为$$  \n",
    "\n",
    "___ \n",
    "\n",
    "${}^{\\textcircled{1}}\\ \\ 对x=0时，若\\mu >1，则用导数定义直接计算得f'(0)=0，而此时公式右端当x=0时也为零，故公式对一切x适用；若\\mu =1，则对一切x有f'(x)=1，而此时公式的右端当x\\ne 0时也为1,当x=0时，其值特别约定为1，这样，公式对一切x也适用.$  \n",
    "$$\\bullet77$$\n",
    "$$(x^{\\frac{1}{2}})'=\\frac{1}{2}x^{\\frac{1}{2}-1}=\\frac{1}{2}x^{-\\frac{1}{2}},$$  \n",
    "即$$(\\sqrt x)'=\\frac{1}{2\\sqrt x};$$  \n",
    "当$\\mu=-1时，y=x^{-1}=\\frac{1}{x}(x\\ne 0)$的导数为$$(x^{-1})'=(-1)x^{-1-1}=-x^{-2},$$  \n",
    "即$$(\\frac{1}{x})'=-\\frac{1}{x^2}.$$  \n",
    "### **例4** 求函数$f(x)=sin(x)$的导数．\n",
    "解 $f^\\prime(x)=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{sin(x+h)-sin(x)}{h}=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{1}{h}\\cdot2cos\\left(x+\\frac{h}{2}\\right)sin\\frac{h}{2}=\\lim_{h\\to\\ 0}2cos\\left(x+\\frac{h}{2}\\right)\n",
    "\\cdot\\frac{sin\\frac{h}{2}}{\\frac{h}{2}}=cos x , $  \n",
    "即$$(sin x)'=cos x.$$  \n",
    "这就是说，正弦函数的导数是余弦函数．\n",
    "用类似的方法，可求得$$(cosx)'=-sinx,$$\n",
    "就是说，余弦函数的导数是负的正弦函数.\n",
    "### **例5** 求函数$f(x)=a^x(a>0,a\\ne 1)$的导数\n",
    "解 $f'(x)=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{a^{x+h}-a^x}{h}=a^x\\lim_{h\\to\\ 0}\\frac{a^h-1}{h}.$  \n",
    "利用第一章第九节例6 的结果得$$f'(x)=a^x\\ln a,$$\n",
    "即$$(a^x)'=a^x\\ln a.$$  \n",
    "这就是指数函数的导数公式．特殊地，当a=e时，因$\\ln e$=1 ，故有$$(e^x)'=e^x.$$  \n",
    "上式表明，以e 为底的指数函数的导数就是它自己，这是以e为底的指数函$$\\bullet78$$\n"
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